DICソフトDownloads: \\NAS_sy21\common\便利グッズ\03.software\画像解析20211207\setup.exe
目次
画像相関法の原理
相関とは
相関値(r)の計算式
\[\begin{equation} \begin{aligned} &r=\frac{S_{x y}}{S_{x} S_{y}} \\ &=\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}} \end{aligned}\end{equation}\]
仮にある画像ピックセルを以下のようなマトリクス輝度場を変換する．画像A～Bの中にテンプレート画像と最も類似する画像を探す．
テンプレート画像と画像Bの相関係数が１となり，画像Aの相関係数rは0.5[1]．
式の解釈 [2]：
1. それぞれの変数の平均値を求める
2. 変数の偏差(平均値を引いた値)を求める
3. 変数の標準偏差(分散の正の平方根)を求める.
4. 偏差の積の平均(共分散)を求める
5. 共分散をそれぞれの標準偏差で割る
6. 相関係数が得られる
画像相関法の計算方法
輝度値とは（開ける）
目で見る色は，パソコンで見ると一連の数字となる．それは輝度と呼ぶ． 全ての色は輝度値で表し，画像処理するとき計算できる． 例えば，(0,0,0)は黒，(255,255,255)は白，(255,0,0) (255,0,0)は赤
1 | <span style="color:rgb(255, 0, 0);">赤</span> |
この図を示すように，色をRGBそれぞれの輝度の組み合わせで表せる．
また，一つ画像のピックセルを輝度値で表すと，3次元の輝度場になる． 画像をグレースケールに変換すれば3次方程式から1になるため，計算速度は非常に早くなる． 画像からグレースケール輝度場に変換イメージは以下になる．
SAD(Sum of Absolute Difference)
画素の輝度値の差の絶対値を求め、その和を求めます。2つの領域が類似するほど値が小さくなる。
\[\begin{equation} SAD=\sum_{y} \sum_{x}|A(x, y)-B(x, y)| \end{equation} \]
SSD(Sum of Squared Difference)
画素の輝度値の差の二乗を求め、その和を求めます。2つの領域が類似するほど値が小さくなる。
\[\begin{equation} SSD=\sum_{y} \sum_{x}(A(x, y)-B(x, y))^{2} \end{equation} \]
NCC（Normalized Cross Correlation）
正規化相互相関。分子では、輝度値の内積から、似た画像では内積の値が大きくなる。分母では、分子の数値を正規化する。2つの領域が類似するほど値が大きくなり、最大＝１、最小＝0。
\[\begin{equation} NCC=\frac{\sum_{y} \sum_{x} A(x, y) B(x, y)}{\sqrt{\sum_{y} \sum_{x} A(x, y)^{2} \sum_{y} \sum_{x} B(x, y)^{2}}}\end{equation} \]
ZNCC（Zero means Normalized Cross Correlation）
補正NCC。2つの画像の明るさが同じであれば、NCCで相関値が求めらるが、2つの画像の明るさが違ってくると、画素の輝度値が異なるため、同じ画像でも相関値が異なってししまう。
そこで、2つの領域の輝度値の平均をそれぞれ引くことで、明るさの違いを補正する役割を果たす． \[\begin{equation}
ZNCC=\frac{\sum_{y} \sum_{x}(A(x, y)-\bar{A})(B(x, y)-\bar{B})}{\sqrt{\sum_{y} \Sigma_{x}(A(x, y)-\bar{A})^{2} \sum_{y} \Sigma_{x}(B(x, y)-\bar{B})^{2}}} \end{equation}
\]
計算例
テンプレートマーチング(Template matching)
最初の画素から、1画素づつ移動させて、2つの画像の類似度を探索するものです。
\[I=\left[\begin{array}{cccc} 10 & 12 & 11 & 10 \\ 10 & 35 & 26 & 10 \\ 11 & 26 & 38 & 10 \\ 9 & 11 & 7 & 10 \end{array}\right], T=\left[\begin{array}{cc} 35 & 25 \\ 27 & 35 \end{array}\right]\]
テンプレート画像の幅w=2、高さh=2なので、SAD(1, 1)は次のようにして計算でる． (中心の画像値を例として)
\[\begin{aligned} SAD(1,1) &=\sum_{x=0}^{1} \sum_{y=0}^{1}|I(1+x, 1+y)-T(x, y)| \\ &=|I(1,1)-T(0,0)|+|I(1,2)-T(0,1)| \\ &+|I(2,1)-T(1,0)|+|I(2,2)-T(1,1)| \\ &=|35-35|+|26-25|+|26-27|+|38-35|=5 \end{aligned} \]
入力画像の画像値\(\left[\begin{array}{cc} 35 & 26 \\26 & 38\end{array}\right]\)の部分の\(SAD(1,1)\)が最少となり，テンプレート画像\(\left[\begin{array}{cc} 35 & 25 \\27 & 35\end{array}\right]\)と最も類似していることを言える．
次は相関法で計算してみる．
実際のDICはZNCCを用いてテンプレート画像を探索している（テンプレートマーチング）．相関が1に近いほど相関が高いと言える．計算方法は以下になる．
\[ \begin{aligned} ZNCC(1,1)&=\frac{\sum_{y} \sum_{x}(I(x, y)-\bar{I})(T(x, y)-\bar{T})}{\sqrt{\sum_{y} \Sigma_{x}(I(x, y)-\bar{I})^{2} \sum_{y} \Sigma_{x}(T(x, y)-\bar{T})^{2}}}\\ &=\frac{(35-30.5)(35-31.25)+(25-30.5)(26-31.25)+(27-30.5)(26-31.25)+(35-30.5)(38-31.25)}{\sqrt{((35-30.5)^2+(25-30.5)^2+(27-30.5)^2+(35-30.5)^2+)+(26-31.25)^2+(26-31.25)^2+(38-31.25)^2}}\\ &=0.968 \end{aligned} \]
以下のようにMatlabでも簡単に計算できる．
1 | a=[35,25;27,35] |